블랙-숄즈 옵션가격결정모형
용어
옵션델타
-기초자산 가격 1단위 변동에 대한 옵션 가격의 변동분
옵션감마
-기초자산 가격 1단위 변동에 대한 옵션델타의 변동분
옵센세타
-시간이 지나면서 기간 감소에 따른 옵션가격의 변동 정도
옵션베가
-기초자산 변동성 변동에 따른 옵션가격의 변동분
가정
○완전자본시장에 관한 가정
-거래비용, 세금, 기초자산에 대한 공매의 제약이 없음
-무위험이자율이 옵션 만기까지 일정하며, 대출과 차입에 제약이 없음
-기초자산과 옵션은 매순간 연속적으로 거래 가능(continuous time model)
>옵션만기까지 거래횟수가 무한대임
○주가와 옵션에 관한 가정
-주가는 기하브라운운동(geometric Brownian motion) 또는 로그노말확산과정(lognormal diffusion process)을 따름
-연속복리 주식수익률의 변동성은 옵션만기까지 일정함
-옵션은 유럽형이며, 만기까지 주식으로부터 현금배당이 없음
○브라운 운동
-1827년 영국의 식물학자 브라운이 꽃가루의 작은 입자가 수면 위를 끊임없이 돌아다니는 현상을 발견한 것을 계기로 이론화
>기체나 액체 내에서 떠다니느 미소입자의 불규칙 운동, 즉 무방향성 미세운동
-프랑스의 루이 바슐리에는 1900년에 박사 학위 논문 "투기이론"에서 금융시장의 가격변동을 브라운 운동으로 모형화
>1950년대 중반 미국의 경제학자 폴 새뮤얼슨이 바실리에의 이론을 수정해서 기하 브라운 운동 정립함
○기하브라운 운동
dS=uS*dt + sigmaS*dw(위너과정)
u:주식 연속복리수익률(연단위)
시그마:주식 연속복리수익률의 표준편차
dw:위너과정으로 이토프로세스라고도 함
○블랙-숄즈 모형 도출과정
-주가가 이토 프로세스에 따른다는 가정 하에서 주식과 옵션으로 구성한 다음, 무위험 포트폴리오 V를 구성하여 옵션가격 결정모형을 도출함
V=aC/aS*S-C (주식매입과 콜옵션매도)
-옵션 가격 결정 모형은 다음의 블랙-숄즈 편미분방정식의 해임
○블랙-숄즈 옵션가격결정모형의 가정의 한계
-현실 세계에서 세금이 존재하고 공매에 대한 제약과 같은 시장의 불완전성이 존재하는 경우 이론적 옵션가격을 추정하기 어려움
-주식, 옵션, 채권 등의 증권이 항상 용이하게 거래되어야 하지만, 현실 세계에서는 거래빈도가 낮고 제약이 많음
-현실에서 옵션의 외가격 거래가 많은 것은 옵션의 가격이 낮기 때문에 저렴한 비용으로 높은 수익을 노리는 투기 행위를 설명
>외가격 옵션일수록 과대평가되는 시장의 비합리성
-변동성은 일정하다고 가정하지만, 가변적이며 추정이 어려움
-주식수익률은 연속적이지 않고 점현상이 발생함
>현실적으로 정규분포를 위배하며, 테일 리스크가 발생함
○옵션 그릭스
델타 : 기초자산 가격 1단위 변동에 대한 옵션가격의 변동정도
-콜옵션의 경우 기초자산 가격 상승 시, 옵션가격은 상승하므로 델타는 양(+)의 부호
-풋옵션의 경우 기초자산 가격 상승 시, 옵션가격은 하락하므로 델타는 음(-)의 부호
감마 : 기초자산 가격 1단위 변동에 대한 델타의 변동
-콜옵션과 풋옵션 모두 옵션델타는 주가가 상승함에 따라 증가하므로 감마는 항상 양(+)의 부호
세타 : 만기까지의 기간 1단위 변동에 대한 옵션가격의 변동
-시간이 지나면서 기간 감소에 따른 옵션가격의 변화 정도
-옵션 가치는 시간이 지나면서 감소하므로 옵션가격의 시간소멸(time decay)을 의미함
베가 : 기초자산 변동성 1단위 변동에 대한 옵셔가격의 변동
-변동성이 증가할 수록 옵션의 가치가 증가하므로 옵션의 베가는 0보다 큼
-콜옵션과 풋옵션의 베가는 동일함
로 : 이자율 1단위 변동에 대한 옵션가격의 변동
-무위험이자율 상승시 콜옵션가격은 상승하므로 rho는 양(+)의 값
-무위험이자율 상승시 풋옵션가격은 하락하므로 음(-)의 값